Z 函数（扩展 KMP）

约定：字符串下标以 为起点。

定义

对于一个长度为 的字符串 ，定义函数 表示 和 （即以 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 被称为 的 Z 函数。特别地，。

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。

这篇文章介绍在 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

解释

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 ：

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vector<int> z_function_trivial(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
  return z;
}

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def z_function_trivial(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    for i in range(1, n):
        while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
            z[i] += 1
    return z

线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法，其关键在于，运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数，使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态。

在该算法中，我们从 到 顺次计算 的值（）。在计算 的过程中，我们会利用已经计算好的 。

对于 ，我们称区间 是 的 匹配段，也可以叫 Z-box。

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便，记作 。根据定义， 是 的前缀。在计算 时我们保证 。初始时 。

在计算 的过程中：

• 如果 ，那么根据 的定义有 ，因此 。这时：
  • 若 ，则 。
  • 否则 ，这时我们令 ，然后暴力枚举下一个字符扩展 直到不能扩展为止。
• 如果 ，那么我们直接按照朴素算法，从 开始比较，暴力求出 。
• 在求出 后，如果 ，我们就需要更新 ，即令 。

可以访问 这个网站 来看 Z 函数的模拟过程。

实现

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vector<int> z_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < n; ++i) {
    if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1) {
      z[i] = z[i - l];
    } else {
      z[i] = max(0, r - i + 1);
      while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  return z;
}

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def z_function(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i <= r and z[i - l] < r - i + 1:
            z[i] = z[i - l]
        else:
            z[i] = max(0, r - i + 1)
            while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
                z[i] += 1
        if i + z[i] - 1 > r:
            l = i
            r = i + z[i] - 1
    return z

复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 向后移至少 位，而 ，所以总共只会执行 次。

对于外层循环，只有一遍线性遍历。

总复杂度为 。

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用。

这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似。

匹配所有子串

为了避免混淆，我们将 称作 文本，将 称作 模式。所给出的问题是：寻找在文本 中模式 的所有出现（occurrence）。

为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 ，也即我们将 和 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 （我们将如此选取 使得其必定不出现在 和 中）。

首先计算 的 Z 函数。接下来，对于在区间 中的任意 ，我们考虑以 为开头的后缀在 中的 Z 函数值 。如果 ，那么我们知道有一个 的出现位于 的第 个位置，否则没有 的出现位于 的第 个位置。

其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 。

本质不同子串数

给定一个长度为 的字符串 ，计算 的本质不同子串的数目。

考虑计算增量，即在知道当前 的本质不同子串数的情况下，计算出在 末尾添加一个字符后的本质不同子串数。

令 为当前 的本质不同子串数。我们添加一个新的字符 至 的末尾。显然，会出现一些以 结尾的新的子串（以 结尾且之前未出现过的子串）。

设串 是 的反串（反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串）。我们的任务是计算有多少 的前缀未在 的其他地方出现。考虑计算 的 Z 函数并找到其最大值 。则 的长度小于等于 的前缀的反串在 中是已经出现过的以 结尾的子串。

所以，将字符 添加至 后新出现的子串数目为 。

算法时间复杂度为 。

值得注意的是，我们可以用同样的方法在 时间内，重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符（从尾或者头）后的本质不同子串数目。

字符串整周期

给定一个长度为 的字符串 ，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 ，使得 可以被若干个 拼接而成的字符串表示。

考虑计算 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 的因数 ，满足 。

该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样。

练习题目

• CF126B Password
• UVa # 455 Periodic Strings
• UVa # 11022 String Factoring
• UVa 11475 - Extend to Palindrome
• LA 6439 - Pasti Pas!
• Codechef - Chef and Strings
• Codeforces - Prefixes and Suffixes
• Leetcode 2223 - Sum of Scores of Built Strings

本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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