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代数基本定理

定义

任何复系数一元 \(n\) 次多项式(\(n\) 至少为 \(1\))方程在复数域上至少有一根。

由此推出,\(n\) 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 \(n\) 个根,重根按重数计算。

有时这个定理也表述为:

任何一个非零的一元 \(n\) 次复系数多项式,都正好有 \(n\) 个复数根。

代数基本定理的证明,一般会用到复变函数或者近世代数,因此往往作为一个熟知结论直接应用。

根据代数基本定理,一个复系数多项式 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0\) 一定可以唯一地分解为:

\[ f(x)=a_n{(x-x_1)}^{k_1}{(x-x_2)}^{k_2}\ldots{(x-x_t)}^{k_t} \]

其中各个根均为复数,\(k_1+k_2+\ldots+k_t=n\)

虚根成对定理

代数基本定理的研究对象是复系数多项式。当对实系数多项式进行研究时,虽然也能分解出复数根,却需要将研究范围扩大,不太方便。

虚根:非实数根。

定理:实系数多项式的根的共轭复数也是该多项式的根。

证明:直接在代数基本定理的等式两端取共轭即证毕。

如果根本身是实数,则取共轭仍为它本身,不受影响。

如果根是虚根,则虚根的共轭复数也是原多项式的根。那么,两个虚根就可以配对。

定理:实数系数方程的共轭虚根一定成对出现,并且共轭虚根的重数相等。

证明:假设一个根为 \(a+bi\),则另一个根为 \(a-bi\)。这意味着在分解式中存在两项:

\[ (x-a-bi)(x-a+bi)=x^2-2ax+a^2+b^2 \]

可以看到两项乘在一起,各项系数会全部变为实数。这个等式右端的二次实系数多项式整除原始的多项式。

于是,在代数基本定理的等式中,两遍同时除以这个二次三项式,得到的仍旧是实系数多项式的等式。对新等式重复操作,随着次数的下降,若干次后即不存在虚根。

因此,每对共轭虚根的重数相等。证毕。

以下是虚根成对定理的推论:

  • 实系数奇次多项式至少有一个实根,并且总共有奇数个实根。
  • 实系数偶次多项式可能没有实根,总共有偶数个实根。

称上述二次三项式 \(x^2-2ax+a^2+b^2=x^2+px+q\) 为二次实系数不可约因式。不可约是指它在实数范围内不可约。

定理:实系数多项式一定是一次或者二次实系数不可约因式的积。

证明:

只要实系数多项式有一个实根 \(c\),就有一个实系数因式 \(x-c\) 和它对应;有一对虚根 \(a\pm bi\),就有一个实系数因式 \(x^2-2ax+a^2+b^2\) 和它对应。

因此,只要在原始的代数基本定理分解式中,利用虚根成对定理进行配对,即证毕。

根据虚根成对定理,一个实系数多项式 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0\) 一定可以唯一地分解为:

\[ f(x)=a_n{(x-x_1)}^{k_1}{(x-x_2)}^{k_2}\ldots{(x-x_t)}^{k_t}{(x^2+p_1x+q_1)}^{l_1}{(x^2+p_2x+q_2)}^{l_2}\ldots{(x^2+p_sx+q_s)}^{l_s} \]

其中各项系数均为实数,\(k_1+k_2+\ldots+k_t+2(l_1+l_2+\ldots+l_s)=n\)

林士谔算法

简介

怎样对实系数多项式进行代数基本定理的分解?如果将数域扩充至复数会很复杂。

如果只在实数范围内进行分解,只能保证,当次数大于 \(2\) 的时候,一定存在实系数二次三项式因式。

这是因为,如果该多项式有虚根,直接凑出一对共轭虚根即可。如果该多项式只有实根,任取两个实根对应的一次因式乘在一起,也能得到实系数二次三项式因式。

找到二次三项式因式之后,再从二次式中解实根或复根就极为容易。于是便有逐次 找出一个二次因子 来求得方程的复根的计算方法,这种方法避免了复数运算。

在 1940 年 8 月、1943 年 8 月和 1947 年 7 月,林士谔先后在 MIT 出版的《数学物理》杂志上接连正式发表了 3 篇关于解算高阶方程式复根方法的论文1,每次均有改进。

这个方法今天还在现代计算机中进行快速运算,计算机程序包(如 MATLAB)中的多项式求根程序依据的原理也是这个算法。

过程

要想找到一个二次三项式因子,就要将多项式分解为:

\[ f(x)=(x^2+p_1x+q_1)g(x) \]

由于无法一下子找到二次三项式因子,按照迭代求解的思路,对于初始值有:

\[ f(x)=(x^2+px+q)g(x)+rx+s \]

会产生一个一次式作为余项。只要余项足够小,即可近似地找到待求因子。

我们希望最终解是初始值加一个偏移修正:

\[ p_1=p+dp \]
\[ q_1=q+dq \]

余式中的两个数 \((r, s)\) 由除式的给定系数 \((p, q)\) 决定。有偏导数关系:

\[ dr=\frac{\partial r}{\partial p}dp+\frac{\partial r}{\partial q}dq \]
\[ ds=\frac{\partial s}{\partial p}dp+\frac{\partial s}{\partial q}dq \]

在初始的等式中,被除式 \(f(x)\) 是给定的,商式 \(g(x)\) 和余式 \(rx+s\) 随着除式 \(x^2+px+q\) 的变化而变化。因此有偏导数关系

\[ 0=xg(x)+\frac{\partial g(x)}{\partial p}(x^2+px+q)+\frac{\partial r}{\partial p}x+\frac{\partial s}{\partial p} \]
\[ 0=g(x)+\frac{\partial g(x)}{\partial q}(x^2+px+q)+\frac{\partial r}{\partial q}x+\frac{\partial s}{\partial q} \]

注意到,偏导数只是一个数值,与变元 \(x\) 无关。因此有整除关系

\[ xg(x)=-\frac{\partial g(x)}{\partial p}(x^2+px+q)-\frac{\partial r}{\partial p}x-\frac{\partial s}{\partial p} \]
\[ g(x)=-\frac{\partial g(x)}{\partial q}(x^2+px+q)-\frac{\partial r}{\partial q}x-\frac{\partial s}{\partial q} \]

这里的结论是,待求的偏导数,恰好是对商式继续做除法的余式。多项式对给定二次三项式的除法,直接计算即可。这里就求得了四个偏导数。

我们希望 \(s\)\(r\) 加上偏移 \(ds\)\(dr\) 得到 \(0\),即 \(ds\)\(dr\)\(s\)\(r\) 的相反数。因此要解方程:

\[ -\frac{\partial r}{\partial p}dp-\frac{\partial r}{\partial q}dq=r \]
\[ -\frac{\partial s}{\partial p}dp-\frac{\partial s}{\partial q}dq=s \]

从上述方程组中解得 \(p\)\(q\) 相应的偏移 \(dp\)\(dq\),直接用二阶行列式求解即可。

实现

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// a 是原始的多项式,n 是多项式次数,p 是待求的一次项,q 是待求的常数项
void Shie(double a[], int n, double *p, double *q) {
  // 数组 b 是多项式 a 除以当前迭代二次三项式的商
  memset(b, 0, sizeof(b));
  // 数组 c 是多项式 b 乘以 x 平方再除以当前迭代二次三项式的商
  memset(c, 0, sizeof(c));
  *p = 0;
  *q = 0;
  double dp = 1;
  double dq = 1;
  while (dp > eps || dp < -eps || dq > eps || dq < -eps)  // eps 自行设定
  {
    double p0 = p;
    double q0 = q;
    b[n - 2] = a[n];
    c[n - 2] = b[n - 2];
    b[n - 3] = a[n - 1] - p0 * b[n - 2];
    c[n - 3] = b[n - 3] - p0 * b[n - 2];
    int j;
    for (j = n - 4; j >= 0; j--) {
      b[j] = a[j + 2] - p0 * b[j + 1] - q0 * b[j + 2];
      c[j] = b[j] - p0 * c[j + 1] - q0 * c[j + 2];
    }
    double r = a[1] - p0 * b[0] - q0 * b[1];
    double s = a[0] - q0 * b[0];
    double rp = c[1];
    double sp = b[0] - q0 * c[2];
    double rq = c[0];
    double sq = -q0 * c[1];
    dp = (rp * s - r * sp) / (rp * sq - rq * sp);
    dq = (r * sq - rq * s) / (rp * sq - rq * sp);
    *p += dp;
    *q += dq;
  }
}

参考资料与注释