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欧拉函数

定义

欧拉函数(Euler's totient function),即 \(\varphi(n)\),表示的是小于等于 \(n\)\(n\) 互质的数的个数。

比如说 \(\varphi(1) = 1\)

当 n 是质数的时候,显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)

性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢?如果有 \(\gcd(a, b) = 1\),那么 \(\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)\)

    特别地,当 \(n\) 是奇数时 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\)

  • \(n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}\)

    证明

    利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

    也可以这样考虑:如果 \(\gcd(k, n) = d\),那么 \(\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, ( k < n )\)

    如果我们设 \(f(x)\) 表示 \(\gcd(k, n) = x\) 的数的个数,那么 \(n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}\)

    根据上面的证明,我们发现,\(f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})\),从而 \(n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})\)。注意到约数 \(d\)\(\dfrac{n}{d}\) 具有对称性,所以上式化为 \(n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)\)

  • \(n = p^k\),其中 \(p\) 是质数,那么 \(\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}\)。 (根据定义可知)

  • 由唯一分解定理,设 \(n = \prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i}\),其中 \(p_i\) 是质数,有 \(\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}\)

    证明
    • 引理:设 \(p\) 为任意质数,那么 \(\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)\)

      证明:显然对于从 1 到 \(p^k\) 的所有数中,除了 \(p^{k-1}\)\(p\) 的倍数以外其它数都与 \(p^k\) 互素,故 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)\),证毕。

      接下来我们证明 \(\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}\)。由唯一分解定理与 \(\varphi(x)\) 函数的积性

      \[ \begin{aligned} \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\ &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\ &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\ &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i}) &\square \end{aligned} \]

实现

如果只要求一个数的欧拉函数值,那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化。

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int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}
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def euler_phi(n):
    m = int(sqrt(n + 0.5))
    ans = n
    for i in range(2, m + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n // i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

注:如果将上面的程序改成如下形式,会提升一点效率:

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int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}
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def euler_phi(n):
    ans = n
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n / i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

如果是多个数的欧拉函数值,可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 详见:筛法求欧拉函数

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下:

\(\gcd(a, m) = 1\),则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理

\[ a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p \]

证明和 习题 详见 欧拉定理