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复数

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复数

引入

注:下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。

从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是方程 \(x^2+a=0 (a>0)\) 有没有解,进而可以归结为方程 \(x^2+1=0\) 有没有解。

回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每次扩充都与实际需求密切相关。例如,为了解决正方形对角线的度量,以及 \(x^2-2=0\) 这样的方程在有理数集中无解的问题,人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后,在实数集中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律。

依照这种思想,为了解决 \(x^2+1=0\) 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数 \(\mathrm{i}\),使得 \(x=\mathrm{i}\) 是方程 \(x^2+1=0\) 的解,即使得 \(\mathrm{i}^2=-1\)

思考:把新引进的数 \(\mathrm{i}\) 添加到实数集中,我们希望数 \(\mathrm{i}\) 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律。那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?

依照以上设想,把实数 \(b\)\(\mathrm{i}\) 相乘,结果记作 \(b\mathrm{i}\);把实数 \(a\)\(b\mathrm{i}\) 相加,结果记作 \(a+b\mathrm{i}\)。注意到所有实数以及 \(\mathrm{i}\) 都可以写成 \(a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})\) 的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中。

定义和分类

哇哦我们定义的数的性质这么好!

我们定义形如 \(a+b\mathrm{i}\),其中 \(a,b\in \mathbb{R}\) 的数叫做 复数,其中 \(\mathrm{i}\) 被称为 虚数单位,全体复数的集合叫做 复数集

复数通常用 \(z\) 表示,即 \(z=a+b\mathrm{i}\)。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 \(a\) 称为复数 \(z\)实部\(b\) 称为复数 \(z\)虚部。如无特殊说明,都有 \(a,b\in \mathbb{R}\)

对于一个复数 \(z\),当且仅当 \(b=0\) 时,它是实数,当 \(b\not = 0\) 时,它是虚数,当 \(a=0\)\(b\not = 0\) 时,它是纯虚数。

纯虚数,虚数,实数,复数的关系如下图所示。

性质

几何意义

我们知道了 \(a+b\mathrm{i}\) 这样类似的形式的数被称为复数,并且给出了定义和分类,我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上,并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义 复数相等:两个复数 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\) 是相等的,当且仅当 \(a=c\)\(b=d\)

这么定义是十分自然的,在此不做过多解释。

也就是说,我们可以用唯一的有序实数对 \((a,b)\) 表示一个复数 \(z=a+b\mathrm{i}\)。这样,联想到平面直角坐标系,我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了,我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般,因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数,所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面\(x\) 轴称为 实轴\(y\) 轴称为 虚轴。我们进一步地说:复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的

我们考虑到学过的平面向量的知识,发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 \((a,b)\),显然,复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 对应复平面内的点 \(Z(a,b)\),那么它还对应平面向量 \(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\),于是我们又找到了复数的另一种几何意义:复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的(实数 \(0\) 与零向量对应)

于是,我们由向量的知识迁移到复数上来,定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的模 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

于是为了方便,我们常把复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 称为点 \(Z\) 或向量 \(\overrightarrow {OZ}\),并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现,虚数不可以比较大小(但是实数是可以的)。

运算

加法与减法

我们规定,复数的加法规则如下:

\(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\),那么

\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\mathrm{i} \]

很明显,两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算,我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则,这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证,复数的加法满足交换律和结合律。即:

\[ z_1+z_2=z_2+z_1\\ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \]

减法作为加法的逆运算,我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则:

\[ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\mathrm{i} \]

这同样符合向量的减法运算。

乘法与除法

我们规定,复数的乘法规则如下:

\(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\),那么

\[ \begin{aligned} z_1z_2&=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})\\ &=ac+bc\mathrm{i}+ad\mathrm{i}+bd\mathrm{i}^2\\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\mathrm{i} \end{aligned} \]

可以看出,两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只需要把 \(\mathrm{i}^2\) 换成 \(-1\),并将实部与虚部分别合并即可。

复数确实与多项式有关,因为复数域是实系数多项式环模掉 \(x^2+1\) 生成的理想。(这句话不明白其实也没有关系)

复数的乘法与向量的向量积形式类似,是由于复数集是数环。

于是容易知道,复数乘法满足交换律,结合律和对加法的分配律,即:

\[ z_1z_2=z_2z_1\\ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\\ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 \]

由于满足运算律,我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用

除法运算是乘法运算的逆运算,我们可以推导一下:

\[ \begin{aligned} \frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} &(c+d\mathrm{i}\not =0) \end{aligned} \]

为了分母实数化,我们乘了一个 \(c-d\mathrm{i}\),这个式子很有意义。

我们定义,当两个虚数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为 共轭复数。通常记 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的共轭复数为 \(\bar z=a-b\mathrm{i}\)。我们可以发现,两个复数互为共轭复数,那么它们 关于实轴对称

由于向量没有除法,这里不讨论与向量的关系。

辐角和辐角主值

如果设定实数单位 \(1\) 作为水平正方向,虚数单位 \(\mathrm{i}\) 作为竖直正方向,得到的就是直角坐标视角下的复平面。

表示复数 \(z\) 的位置,也可以借助于极坐标 \((r, \theta)\) 确定。前文已经提到了 \(r\) 为复数 \(z\) 的模。

从实轴正向到 非零 复数 \(z=x+\mathrm{i}y\) 对应向量的夹角 \(\theta\) 满足关系:

\[ \tan \theta=\frac{y}{x} \]

称为复数 \(z\)辐角,记为:

\[ \theta= \operatorname{Arg} z \]

任一个 非零 复数 \(z\) 有无穷多个辐角。借助开头小写的 \(\operatorname{arg} z\) 表示 其中一个特定值,满足条件:

\[ -\pi<\operatorname{arg} z \le \pi \]

\(\operatorname{arg} z\)辐角主值主辐角。辐角就是辐角主值基础上加若干整数个(可以为零或负整数)\(2k\pi\)

下文的「多值函数」一节表明,辐角是多值函数,辐角主值是多值函数的主值。因此,辐角可以直接相加,而辐角主值不能直接相加。

称模小于 \(1\) 的复数,在复平面上构成的图形为 单位圆。称模等于 \(1\) 的复数为 单位复数,全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周。在不引起混淆的情况下,有时单位圆周也简称单位圆。

在极坐标的视角下,复数的乘除法变得很简单。复数乘法,模相乘,辐角相加。复数除法,模相除,辐角相减。

欧拉公式

对于复数 \(z=x+\mathrm{i}y\),函数 \(f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)\) 满足 \(f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)\)。给出 复指数函数 的定义:

\[ \operatorname{exp} z=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y) \]

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质:

模恒正:\(|\operatorname{exp} z|=\operatorname{exp} x>0\)

辐角主值:\(\operatorname{arg} \operatorname{exp} z=y\)

加法定理:\(\operatorname{exp} (z_1+z_2)=\operatorname{exp} (z_1)\operatorname{exp} (z_2)\)

周期性:\(\operatorname{exp} z\) 是以 \(2\pi \mathrm{i}\) 为基本周期的周期函数。如果一个函数 \(f(z)\) 的周期是某一周期的整倍数,称该周期为 基本周期

这里将复指数函数记为 \(\operatorname{exp}\),是为了与下文的一般指数函数做区分。

复三角函数(也简称 三角函数)的定义,是 欧拉公式

\[ \cos z=\frac{\operatorname{exp} (iz)+\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2} \]
\[ \sin z=\frac{\operatorname{exp} (iz)-\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2\mathrm{i}} \]

有关欧拉公式的更多介绍,可以参考两个视频:欧拉公式与初等群论微分方程概论 - 第五章:在 3.14 分钟内理解 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\)

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质:

奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数。

三角恒等式:通常的三角恒等式都成立,例如平方和为 \(1\),或者角的和差公式等。

周期性:正弦与余弦函数以 \(2\pi\) 为基本周期。

零点:实正弦与实余弦函数的全体零点,构成了复正弦与复余弦函数的全体零点。这个推广没有引进新的零点。

模的无界性:复正弦与复余弦函数,模长可以大于任意给定的正数,不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 \(1\) 的范围内。

复数的三种形式

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角,可以写出复数的三种形式。

复数的 代数形式 用于表示任意复数。

\[ z=x+y\mathrm{i} \]

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便。

复数的 三角形式指数形式,用于表示非零复数。

\[ z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta)=r \operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta) \]

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便。如果只用高中见过的函数,可以使用三角形式。如果引入了复指数函数,写成等价的指数形式会更加方便。

多值函数

在复数集之上定义的函数,函数值可能不再是一个具体的复数值,而是一个集合。

一个例子,上述定义的辐角函数 \(\operatorname{Arg} z\) 就是这样。辐角函数的函数值是 \(\operatorname{Arg} z=\{\operatorname{arg} z +2k\pi | k\in Z\}\),为一个集合。

如果对于每一个复数自变量,只有唯一的复数函数值与其对应,称为 单值函数。上述指数函数和三角函数都是单值函数。

如果对于某些复数自变量,有多于一个的复数函数值与其对应,这样的函数称为 多值函数

多值函数的函数值为集合,值域为函数值集合的集合。多值函数常常首字母大写,并规定一个对应首字母小写的单值函数称为 主值

复对数函数

规定 复对数函数(也简称 对数函数)是复指数函数的反函数。可以解得:

\[ \operatorname{Ln} z=\ln{|z|}+\mathrm{i} \operatorname{Arg} z \]

对数函数的定义域为 非零 复数。由于辐角函数是多值函数,因此对数函数也是多值函数。相应地,记 对数函数的主值 为:

\[ \ln z=\ln{|z|}+\mathrm{i} \operatorname{arg} z \]

于是对数函数可以记为:

\[ \operatorname{Ln} z=\{\ln z +2k\pi \mathrm{i}| k\in Z\} \]

复对数函数拥有性质:

\[ \operatorname{Ln}(z_1z_2)=\operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2 \]

这个性质与实对数函数相同。而对数函数的主值不满足该性质。

一般指数函数

一般指数函数 定义为:

\[ a^z=\operatorname{exp} (z \operatorname{Ln} a) \]

对于任意的 非零 复数 \(a\),一般指数函数是多值函数。

上述定义式展开是这样的:

\[ a^z=\operatorname{exp} (z \operatorname{Ln} a)=\operatorname{exp} (z\ln a +2k\pi \mathrm{i}z)=\operatorname{exp} (z\ln a)\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}z) \]

一般指数函数的多值性来源于底数辐角的多值性。以实数单位 \(1\) 为底的指数函数应当是:

\[ 1^z=\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}z) \]

\(1\) 为底的指数函数不恒为 \(1\),而是一个多值函数。这是因为 \(1\) 的辐角不一定是 \(0\),于是根据复数乘法「模相乘辐角相加」的规则,指数的结果也是多值的。只有式中 \(k\)\(0\) 的时候才不恒为 \(1\),即只有主值恒为 \(1\)

于是一般指数函数可以记为:

\[ a^z=\operatorname{exp} (z\ln a) 1^z \]

可以把指数函数的主值部分与其他部分以乘积的形式分开。

以自然对数 \(e\) 为底的指数函数应当是:

\[ e^z=\operatorname{exp} z 1^z \]

单值函数 \(\operatorname{exp}\) 是以自然对数 \(\mathrm{e}\) 为底的指数函数的主值。真正以 \(\mathrm{e}\) 为底的指数函数是多值函数,而 \(\operatorname{exp}\) 是一个形式上的记号,没有幂的含义。

一般幂函数与复数乘方开方

一般幂函数 定义为:

\[ z^a=\operatorname{exp} (a \operatorname{Ln} z) \]

一般幂函数的取值情况需要分类讨论。将上述定义式展开:

\[ z^a=\operatorname{exp} (a \operatorname{Ln} z)=\operatorname{exp} (a(\ln z +2k\pi \mathrm{i}))=\operatorname{exp} (a\ln z) \operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a) \]

根据 \(a\) 的取值,分三种情形。

如果 \(a\) 为无理数或者虚数,\(\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a)\) 的值有无限多个,此时一般幂函数是多值函数,并且函数值集合为无限集。

如果 \(a=n\) 为整数,此时有:

\[ \operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a)=\operatorname{exp} (2(kn)\pi \mathrm{i}a)=1 \]

此时 \(z^a\) 是单值函数。复数的整数次幂(乘方)是单值函数。

如果 \(a=\frac{q}{p}\) 为有理数,其中 \(\gcd(q, p)=1\),此时有:

\[ \operatorname{exp} (2k\pi ia)=\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}\frac{q}{p}) \]

只能取 \(p\) 个不同的值,即 \(k\)\(0\)\(p-1\) 之间的值。这 \(p\) 个不同的值将单位圆周 \(n\) 等分,就是下文的单位根。

此时 \(z^a\) 是多值函数,并且可以取到有限的 \(p\) 个不同的值。复数的有理数次幂(开方)是多值函数,函数值集合为有限集。

这里引入一个经典结论。根据复数乘法,模相乘,辐角相加,也可以用来计算乘方和开方(整数次幂与有理数次幂)。如果 \(z=r \operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta)\),则有:

\[ z^n=r^n(\operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta))^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta) \]

当模为 \(1\) 的时候,就得到 棣莫弗定理(De Moivre's formula):

\[ (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta \]

非零复数 \(z\)\(n\) 次方根共有 \(n\) 个,沿中心在原点,半径为 \(r^\frac{1}{n}\) 的圆周均匀分布,即构成内接于该圆周的正 \(n\) 边形的 \(n\) 个顶点。

单位根

\(x^n=1\) 在复数意义下的解是 \(n\) 次复根。显然,这样的解有 \(n\) 个,称这 \(n\) 个解都是 \(n\)单位根单位复根(the \(n\)-th root of unity)。根据复平面的知识,\(n\) 次单位根把单位圆 \(n\) 等分。

\(\omega_n=\operatorname{exp} \frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\)(即幅角为 \(2\pi \over n\) 的单位复数),则 \(x^n=1\) 的解集表示为 \(\{\omega_n^k\mid k=0,1\cdots,n-1\}\)

如果不加说明,一般叙述的 \(n\) 次单位根,是指从 \(1\) 开始逆时针方向的第一个解,即上述 \(\omega_n\),其它解均可以用 \(\omega_n\) 的幂表示。

性质

单位根有三个重要的性质。对于任意正整数 \(n\) 和整数 \(k\)

\[ \begin{aligned} \omega_n^n&=1\\ \omega_n^k&=\omega_{2n}^{2k}\\ \omega_{2n}^{k+n}&=-\omega_{2n}^k\\ \end{aligned} \]

推导留给读者自证。这三个性质在快速傅里叶变换中会得到应用。

本原单位根

为什么说,上述 \(n\) 个解都是 \(n\) 次单位根,而平时说的 \(n\) 次单位根一般特指第一个?

特指第一个,是为了在应用时方便。

在解方程的视角看来,满足 \(\omega_n\) 性质的不止 \(\omega_n\) 一个,对于 \(\omega_n\) 的若干次幂也会满足性质。

称集合:

\[ \{\omega_n^k\mid 0\le k<n, \gcd(n,k)=1\} \]

中的元素为 本原单位根。任意一个本原单位根 \(\omega\),与上述 \(\omega_n\) 具有相同的性质:对于任意的 \(0<k<n\)\(\omega\)\(k\) 次幂不为 \(1\)。因此,借助任意一个本原单位根,都可以生成全体单位根。

全体 \(n\) 次本原单位根共有 \(\varphi(n)\) 个。

C99 中的复数

在 C99 标准中,有 <complex.h> 头文件。

<complex.h> 头文件中,提供了 double complexfloat complexlong double complex 三种类型。

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/',可以用于浮点数和复数的任意混合。当表达式两端有一个为复数时,计算结果为复数。

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I,引入此头文件时,大写字母 I 不可以作为变量名使用。

对于单个复数,<complex.h> 提供了若干操作:creal 函数用于提取实部,cimag 函数用于提取虚部,cabs 函数用于计算模,carg 函数用于计算辐角主值。

所有的函数根据类型不同,都有三个。例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个,用于处理对应的 doublefloatlong double 三种类型。末尾什么都不带的默认处理 double 类型。以下所有函数均遵从此规律,不再特别说明。

这些函数返回值都是一般的浮点数。可以将普通浮点数直接赋值给复数,但是不可以将复数直接赋值给浮点数,而是需要使用上述提取操作。

函数 conj 用于计算共轭复数,返回值是复数。

函数 cexp 计算复指数,clog 计算对数主值,csin 计算正弦,ccos 计算余弦,ctan 计算正切。

函数 cpow 计算幂函数,csqrt 计算平方根,casin 计算反正弦,cacos 计算反余弦,ctan 计算反正切。这部分函数计算的全部都是多值函数的主值。

C++ 中的复数

在 C 里面的 <ctype.h>,到 C++ 会变成 <cctype>,几乎所有的头文件遵从这个命名规律。

但是,<complex.h> 不遵守,C++ 没有 <ccomplex> 头文件。C++ 的复数直接是 <complex>,并且装的东西和 C 完全不一样。

很有趣。这是因为,在 C++ 的第一个版本 C++98,即已经有了 <complex>,而 C 语言在 C99 才添加。

在 C++ 中,复数类型定义使用 complex<float>complex<double>complex<long double>。由于面向对象的多态性,下面函数的名字都是唯一的,无需 f 或 l 的后缀。

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag,可以访问实部和虚部。

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg,返回实部、虚部、模和辐角。

一个复数对象还拥有非成员函数:norm 为模的平方,conj 为共轭复数。

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log(底为 \(\mathrm{e}\) 的对数主值)、log10(底为 10 的对数主值,C 中没有)、pow、sqrt、sin、cos、tan,含义与 C 中的含义相同。

在 C++14 及以后的版本中,定义了 字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il。例如输入 100if100i100il,三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}。这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4 + 3i 的复数声明。