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数学符号表

本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法,并给出了一些应用范例。

本文参考了 GB/T 3102.11-1993ISO 80000-2:2019 修订,故基本与国内通行教材的符号体系兼容。

数理逻辑

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n1.1 \(p \land q\) \(p\)\(q\) 的合取 \(p\)\(q\).
n1.2 \(p \lor q\) \(p\)\(q\) 的析取 \(p\)\(q\);
此处的 "或" 是包含的,即若 \(p\)\(q\) 中有一个为真陈述,则 \(p \lor q\) 为真。
n1.3 \(\lnot p\) \(p\) 的否定 \(p\).
n1.4 \(p \Rightarrow q\) \(p\) 蕴含 \(q\);
\(p\) 为真,则 \(q\) 为真
\(q \Leftarrow p\)\(p \Rightarrow q\) 同义。\(\Rightarrow\) 称为实质蕴涵。也可使用 \(\implies\)\(\impliedby\).
n1.5 \(p \Leftrightarrow q\) \(p\) 等价于 \(q\) \((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\)\(p \Leftrightarrow q\) 同义。
\(\Leftrightarrow\) 称为实质等价。
也可使用 \(\iff\).
n1.6 \((\forall~x \in A)~~p(x)\) \(A\) 中所有的 \(x\), 命题 \(p(x)\) 均为真 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 \(A\), 可以使用记号 \((\forall~x)~~p(x)\).
\(\forall\) 称为全称量词。
\(x \in A\) 的含义见 n2.1.
n1.7 \((\exists~x \in A)~~p(x)\) 存在一个属于 \(A\)\(x\) 使得 \(p(x)\) 为真 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 \(A\), 可以使用记号 \((\exists~x)~~p(x)\).
\(\exists\) 称为存在量词。
\(x \in A\) 的含义见 n2.1.
\((\exists!~x)~~p(x)\)(唯一量词)用来表示恰有一个 \(x\) 使得 \(p(x)\) 为真。
\(\exists!\) 也可以写作 \(\exists^1\).

集合论

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n2.1 \(x \in A\) \(x\) 属于 \(A\)\(x\) 是集合 \(A\) 中的元素 \(A \ni x\)\(x \in A\) 同义。
n2.2 \(y \notin A\) \(y\) 不属于 \(A\)\(y\) 不是集合 \(A\) 中的元素
n2.3 \(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) 含元素 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的集合 也可写作 \(\{x_i ~\vert~ i \in I\}\), 其中 \(I\) 表示指标集。
n2.4 \(\{x \in A ~\vert~ p(x)\}\) \(A\) 中使命题 \(p(x)\) 为真的所有元素组成的集合 例如 \(\{x \in \textbf{R} ~\vert~ x \geq 5\}\);
如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 \(A\),可以使用符号 \(\{x ~\vert~ p(x)\}\)(如在只考虑实数集时可使用 \(\{x ~\vert~ x \geq 5\}\)
\(\vert\) 也可以使用冒号替代,如 \(\{x \in A : p(x)\}\).
n2.5 \(\operatorname{card} A\);
\(\vert A\vert\)
\(A\) 中的元素个数,\(A\) 的基数
n2.6 \(\varnothing\) 空集 不应使用 \(\emptyset\).
n2.7 \(B \subseteq A\) \(B\) 包含于 \(A\) 中,\(B\)\(A\) 的子集 \(B\) 的每个元素都属于 \(A\).
\(\subset\) 也可用于该含义,但请参阅 n2.8 的说明。
\(A \supseteq B\)\(B \subseteq A\) 同义。
n2.8 \(B \subset A\) \(B\) 真包含于 \(A\) 中,\(B\)\(A\) 的真子集 \(B\) 的每个元素都属于 \(A\), 且 \(A\) 中至少有一个元素不属于 \(B\).
\(\subset\) 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 \(\subsetneq\).
\(A \supset B\)\(B \subset A\) 同义。
n2.9 \(A \cup B\) \(A\)\(B\) 的并集 \(A \cup B := \{x ~\vert~ x \in A \lor x \in B\}\);
\(:=\) 的定义参见 n4.3
n2.10 \(A \cap B\) \(A\)\(B\) 的交集 \(A \cap B := \{x ~\vert~ x \in A \land x \in B\}\);
\(:=\) 的定义参见 n4.3
n2.11 \(\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i\) 集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的并集 \(\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n\);
也可使用 \(\displaystyle \bigcup\nolimits_{i=1}^n\)\(\displaystyle \bigcup\limits_{i\in I}\)\(\displaystyle \bigcup\nolimits_{i\in I}\), 其中 \(I\) 表示指标集
n2.12 \(\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i\) 集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的交集 \(\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n\);
也可使用 \(\displaystyle \bigcap\nolimits_{i=1}^n\)\(\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I}\)\(\displaystyle \bigcap\nolimits_{i\in I}\), 其中 \(I\) 表示指标集
n2.13 \(A \setminus B\) \(A\)\(B\) 的差集 \(A \setminus B = \{x ~\vert~ x \in A \land x \notin B\}\);
不应使用 \(A - B\);
\(B\)\(A\) 的子集时也可使用 \(\complement_A B\), 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 \(A\),则 \(A\) 可以省略。
n2.14 \((a, b)\) 有序数对 \(a\)\(b\);
有序偶 \(a\)\(b\)
\((a, b) = (c, d)\) 当且仅当 \(a = c\)\(b = d\).
n2.15 \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) 有序 \(n\) 元组 参见 n2.14.
n2.16 \(A \times B\) 集合 \(A\)\(B\) 的笛卡尔积 \(A \times B = \{(x, y) ~\vert~ x \in A \land y \in B\}\).
n2.17 \(\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i\) 集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的笛卡尔积 \(\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i=\{(x_1, x_2, \dots, x_n) ~\vert~ x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \dots, x_n \in A_n\}\);
\(A \times A \times \dots \times A\) 记为 \(A^n\), 其中 \(n\) 是乘积中的因子数。
n2.18 \(\mathrm{id}_A\) \(A\times A\) 的对角集 \(\mathrm{id}_A=\{(x, x)~\vert~x\in A\}\);
如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 \(A\), 则 \(A\) 可以省略。

标准数集和区间

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n3.1 \(\mathbf{N}\) 自然数集 \(\mathbf{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\);
\(\mathbf{N}^* = \mathbf{N}_+ = \{1, 2, 3, \dots\}\);
可用如下方式添加其他限制:\(\mathbf{N}_{> 5} = \{n \in \mathbf{N} ~\vert~ n > 5\}\);
也可使用 \(\mathbb{N}\).
n3.2 \(\mathbf{Z}\) 整数集 \(\mathbf{Z}^* = \mathbf{Z}_+ = \{n \in \mathbf{Z} ~\vert~ n \ne 0\}\);
可用如下方式添加其他限制:\(\mathbf{Z}_{> -3} = \{n \in \mathbf{Z} ~\vert~ n > -3\}\);
也可使用 \(\mathbb{Z}\).
n3.3 \(\mathbf{Q}\) 有理数集 \(\mathbf{Q}^* = \mathbf{Q}_+ = \{r \in \mathbf{Q} ~\vert~ r \ne 0\}\);
可用如下方式添加其他限制:\(\mathbf{Q}_{< 0} = \{r \in \mathbf{Q} ~\vert~ r < 0\}\);
也可使用 \(\mathbb{Q}\).
n3.4 \(\mathbf{R}\) 实数集 \(\mathbf{R}^* = \mathbf{R}_+ = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x \ne 0\}\);
可用如下方式添加其他限制:\(\mathbf{R}_{> 0} = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x > 0\}\);
也可使用 \(\mathbb{R}\).
n3.5 \(\mathbf{C}\) 复数集 \(\mathbf{C}^* = \mathbf{C}_+ = \{z \in \mathbf{C} ~\vert~ z \ne 0\}\);
也可使用 \(\mathbb{C}\).
n3.6 \(\mathbf{P}\) (正)素数集 \(\mathbf{P} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots\}\);
也可使用 \(\mathbb{P}\).
n3.7 \([a, b]\) \(a\)\(b\) 的闭区间 \([a, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x \leq b\}\).
n3.8 \((a, b]\) \(a\)\(b\) 的左开右闭区间 \((a, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x \leq b\}\);
\((-\infty, b] = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x \leq b\}\).
n3.9 \([a, b)\) \(a\)\(b\) 的左闭右开区间 \([a, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x < b\}\);
\([a, +\infty) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a \leq x\}\).
n3.10 \((a, b)\) \(a\)\(b\) 的开区间 \((a, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x < b\}\);
\((-\infty, b) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ x < b\}\);
\((a, +\infty) = \{x \in \mathbf{R} ~\vert~ a < x\}\).

关系

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n4.1 \(a = b\) \(a\) 等于 \(b\) \(\equiv\) 用于强调某等式是恒等式
该符号的另一个含义参见 n4.18.
n4.2 \(a \ne b\) \(a\) 不等于 \(b\)
n4.3 \(a := b\) \(a\) 定义为 \(b\) 参见 n2.9, n2.10
n4.4 \(a \approx b\) \(a\) 约等于 \(b\) 不排除相等。
n4.5 \(a \simeq b\) \(a\) 渐进等于 \(b\) 例如:
\(x\to a\) 时,\(\dfrac{1}{\sin(x-a)} \simeq \dfrac{1}{x-a}\);
\(x \to a\) 的含义参见 n4.15.
n4.6 \(a \propto b\) \(a\)\(b\) 成正比 也可使用 \(a \sim b\).
\(\sim\) 也用于表示等价关系。
n4.7 \(M \cong N\) \(M\)\(N\) 全等 \(M\)\(N\) 是点集(几何图形)时。
该符号也用于表示代数结构的同构。
n4.8 \(a < b\) \(a\) 小于 \(b\)
n4.9 \(b > a\) \(b\) 大于 \(a\)
n4.10 \(a \leq b\) \(a\) 小于等于 \(b\)
n4.11 \(b \geq a\) \(b\) 大于等于 \(a\)
n4.12 \(a \ll b\) \(a\) 远小于 \(b\)
n4.13 \(b \gg a\) \(b\) 远大于 \(a\)
n4.14 \(\infty\) 无穷大 该符号 是数字。
也可以使用 \(+\infty\)\(-\infty\).
n4.15 \(x \to a\) \(x\) 趋近于 \(a\) 一般出现在极限表达式中。
\(a\) 也可以为 \(\infty\)\(+\infty\)\(-\infty\).
n4.16 \(m \mid n\) \(m\) 整除 \(n\) 对整数 \(m\)\(n\):
\((\exists~k \in \mathbf{Z})~~m\cdot k = n\).
n4.17 \(m \perp n\) \(m\)\(n\) 互质 对整数 \(m\)\(n\):
\((\nexists~k \in \mathbf{Z}_{>1})~~(k \mid m) \land (k \mid n)\);
该符号的另一种用法参见 n5.2
n4.18 \(n \equiv k \pmod m\) \(n\)\(m\)\(k\) 同余 对整数 \(n\)\(k\)\(m\):
\(m \mid (n - k)\);
不要与 n4.1 中提到的相混淆。

初等几何学

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n5.1 \(\parallel\) 平行
n5.2 \(\perp\) 垂直 该符号的另一种用法参见 n4.17
n5.3 \(\angle\) (平面)角
n5.4 \(\overline{\mathrm{AB}}\) 线段 \(\mathrm{AB}\)
n5.5 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) 有向线段 \(\mathrm{AB}\)
n5.6 \(d(\mathrm{A}, \mathrm{B})\) \(\mathrm{A}\)\(\mathrm{B}\) 之间的距离 \(\overline{\mathrm{AB}}\) 的长度。

运算符

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n6.1 \(a + b\) \(a\)\(b\)
n6.2 \(a - b\) \(a\)\(b\)
n6.3 \(a \pm b\) \(a\) 加或减 \(b\)
n6.4 \(a \mp b\) \(a\) 减或加 \(b\) \(-(a \pm b) = -a \mp b\).
n6.5 \(a \cdot b\);
\(a \times b\);
\(ab\)
\(a\)\(b\) 若出现小数点,则应只使用 \(\times\);
部分用例参见 n2.16, n2.17, n14.11, n14.12
n6.6 \(\dfrac{a}{b}\);
\(a/b\);
\(a:b\)
\(a\) 除以 \(b\) \(\dfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}\);
可用 \(:\) 表示同一量纲的数值的比率。
不应使用 \(÷\).
n6.7 \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n a_i\) \(a_1 + a_2 + \dots + a_n\) 也可使用 \(\displaystyle \sum\nolimits_{i=1}^n a_i\)\(\displaystyle \sum\limits_i a_i\)\(\displaystyle \sum\nolimits_i a_i\)\(\displaystyle \sum a_i\).
n6.8 \(\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n a_i\) \(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n\) 也可使用 \(\displaystyle \prod\nolimits_{i=1}^n a_i\)\(\displaystyle \prod\limits_i a_i\)\(\displaystyle \prod\nolimits_i a_i\)\(\displaystyle \prod a_i\).
n6.9 \(a^p\) \(a\)\(p\) 次幂
n6.10 \(a^{1/2}\);
\(\sqrt{a}\)
\(a\)\(1/2\) 次方,\(a\) 的平方根 应避免使用 \(\sqrt{}a\).
n6.11 \(a^{1/n}\);
\(\sqrt[n]{a}\)
\(a\)\(1/n\) 次幂,\(a\)\(n\) 次根 应避免使用 \(\sqrt[n]{}a\).
n6.12 \(\bar{x}\);
\(\bar{x}_a\)
\(x\) 的算数均值 其他均值有:
调和均值 \(\bar{x}_h\);
几何均值 \(\bar{x}_g\);
二次均值/均方根 \(\bar{x}_q\)\(\bar{x}_{rms}\).
\(\bar{x}\) 也用于表示复数 \(x\) 的共轭,参见 n11.6.
n6.13 \(\operatorname{sgn} a\) \(a\) 的符号函数 对实数 \(a\):
\(\operatorname{sgn} a=1\quad (a>0)\);
\(\operatorname{sgn} a=-1\quad (a<0)\);
\(\operatorname{sgn} 0=0\);
参见 n11.7.
n6.14 \(\inf M\) \(M\) 的下确界 小于等于非空集合 \(M\) 中元素的最大上界。
n6.15 \(\sup M\) \(M\) 的上确界 大于等于非空集合 \(M\) 中元素的最小下界。
n6.16 \(\lvert a\rvert\) \(a\) 的绝对值 也可使用 \(\operatorname{abs} a\).
n6.17 \(\lfloor a\rfloor\) 向下取整
小于等于实数 \(a\) 的最大整数
例如:
\(\lfloor 2.4\rfloor = 2\);
\(\lfloor -2.4\rfloor = -3\).
n6.18 \(\lceil a\rceil\) 向上取整
大于等于实数 \(a\) 的最小整数
例如:
\(\lceil 2.4\rceil = 3\);
\(\lceil -2.4\rceil = -2\).
n6.19 \(\min(a, b)\);
\(\min\{a, b\}\)
\(a\)\(b\) 的最小值 可推广到有限集中。
要表示无限集中的最小值建议使用 \(\inf\), 参见 n6.14
n6.20 \(\max(a, b)\);
\(\max\{a, b\}\)
\(a\)\(b\) 的最大值 可推广到有限集中。
要表示无限集中的最大值建议使用 \(\sup\), 参见 n6.15
n6.21 \(n \bmod m\) \(n\)\(m\) 的余数 对正整数 \(n\)\(m\):
\((\exists~q\in\mathbf{N}, r\in[0, m))~~n=qm+r\);
其中 \(r=n \bmod m\).
n6.22 \(\gcd(a, b)\);
\(\gcd\{a, b\}\)
整数 \(a\)\(b\) 的最大公因数 可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 \((a, b)\).
n6.23 \(\operatorname{lcm}(a, b)\);
\(\operatorname{lcm}\{a, b\}\)
整数 \(a\)\(b\) 的最小公倍数 可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 \([a, b]\);
\((a, b)[a, b]=\lvert ab\rvert\).

组合数学

本节中的 \(n\)\(k\) 是自然数,\(a\) 是复数,且 \(k\leq n\).

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n7.1 \(n!\) 阶乘 \(n!=\prod_{k=1}^n k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n\quad (n>0)\);
\(0!=1\).
n7.2 \(a^{\underline{k}}\) 下降阶乘幂 \(a^{\underline{k}}=a\cdot(a-1)\cdot \dots \cdot(a-k+1)\quad (k>0)\);
\(a^{\underline{0}}=1\);
\(n^{\underline{k}}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\).
n7.3 \(a^{\overline{k}}\) 上升阶乘幂 \(a^{\overline{k}}=a\cdot(a+1)\cdot \dots \cdot(a+k-1)\quad (k>0)\);
\(a^{\overline{0}}=1\);
\(n^{\underline{k}}=\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\).
n7.4 \(\dbinom{n}{k}\) 组合数 \(\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
n7.5 \(\displaystyle{n\brack k}\) 第一类 Stirling 数 \(\displaystyle{n+1\brack k}=n{n\brack k}+{n\brack k-1}\);
\(\displaystyle x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^n{n\brack k}x^k\).
n7.6 \(\displaystyle{n\brace k}\) 第二类 Stirling 数 \(\displaystyle{n\brace k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n\);
\(\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\brace k}x^{\underline{k}}=x^n\).

函数

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n8.1 \(f\) 函数
n8.2 \(f(x)\)\(f(x_1, \dots, x_n)\) 函数 \(f\)\(x\) 处的值
函数 \(f\)\((x_1, \dots, x_n)\) 处的值
n8.3 \(\operatorname{dom} f\) \(f\) 的定义域 也可使用 \(\mathrm{D}(f)\).
n8.4 \(\operatorname{ran} f\) \(f\) 的值域 也可使用 \(\mathrm{R}(f)\).
n8.5 \(f:A\to B\) \(f\)\(A\)\(B\) 的映射 \(\operatorname{dom} f=A\)\((\forall~x \in\operatorname{dom} f)~~ f(x) \in B\).
n8.6 \(x\mapsto T(x), x\in A\) 将所有 \(x\in A\) 映射到 \(T(x)\) 的函数 \(T(x)\) 仅用于定义,用来表示某个参数为 \(x\in A\) 的某个函数值。若这个函数为 \(f\), 则对所有 \(x\in A\) 均有 \(f(x)=T(x)\). 因此 \(T(x)\) 通常用来定义函数 \(f\).
例如:
\(x\mapsto 3x^2y, x\in[0, 2]\);
这是由 \(3x^2y\) 定义的一个关于 \(x\) 的二次函数。若未引入函数符号,则用 \(3x^2y\) 表示该函数
n8.7 \(f^{-1}\) \(f\) 的反函数 函数 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}\) 有定义当且仅当 \(f\) 是单射。
\(f\) 是单射,则 \(\operatorname{dom}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{ran} f\)\(\operatorname{ran}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{dom} f\), 且 \((\forall~x\in\operatorname{dom} f)~~f^{-1}(f(x)) = x\).
不要与函数的倒数 \(f(x)^{-1}\) 混淆。
n8.8 \(g\circ f\) \(f\)\(g\) 的复合函数 \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
n8.9 \(f:x\mapsto y\) \(f(x)=y\)\(f\)\(x\) 映射到 \(y\)
n8.10 \(f\vert_a^b\);
\(f(\dots, u, \dots)\vert_{u=a}^{u=b}\)
\(f(b)-f(a)\);
\(f(\dots, b, \dots)-f(\dots, a, \dots)\)
主要用于定积分的计算中。
n8.11 \(\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)\);
\(\lim\nolimits_{x\to a}f(x)\)
\(x\) 趋近于 \(a\)\(f(x)\) 的极限 \(\lim\nolimits_{x\to a}f(x)=b\) 可以写成 \(f(x)\to b\quad (x \to a)\).
右极限和左极限的符号分别为 \(\lim\nolimits_{x\to a+}f(x)\)
\(\lim\nolimits_{x\to a-}f(x)\).
n8.12 \(f(x) = O(g(x))\) \(\lvert f(x)/g(x)\rvert\) 在上下文隐含的限制中有上界,\(f(x)\) 的阶不高于 \(g(x)\) \(f/g\)\(g/f\) 均有界时称 \(f\)\(g\) 是同阶的。
使用符号 "\(=\)" 是出于历史原因,其在此处不表示等价,因为不满足传递性。
例如:
\(\sin x=O(x)\quad (x\to 0)\).
n8.13 \(f(x) = o(g(x))\) 在上下文隐含的限制中有 \(f(x)/g(x)\to 0\)\(f(x)\) 的阶高于 \(g(x)\) 使用符号 "\(=\)" 是出于历史原因,其在此处不表示等价,因为不满足传递性。
例如:
\(\cos x=1+o(x)\quad (x\to 0)\).
n8.14 \(\Delta f\) \(f\) 的有限增量 上下文隐含的两函数值的差分。例如:
\(\Delta x=x_2-x_1\);
\(\Delta f(x)=f(x_2)-f(x_1)\).
n8.15 \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\);
\(f'\)
\(f\)\(x\) 的导(函)数 仅用于一元函数。
可以显式指明自变量,如 \(\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\)\(f'(x)\).
n8.16 \(\left(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)_{x=a}\);
\(f'(a)\)
\(f\)\(a\) 处的导(函)数值 参见 n8.15
n8.17 \(\dfrac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}\);
\(f^{(n)}\)
\(f\)\(x\)\(n\) 阶导(函)数 仅用于一元函数。
可以显式指明自变量,如 \(\dfrac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}\)\(f^{(n)}(x)\).
可用 \(f''\)\(f'''\) 分别表示 \(f^{(2)}\)\(f^{(3)}\).
n8.18 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\);
\(f_x\)
\(f\)\(x\) 的偏导数 仅用于多元函数。
可以显式指明自变量,如 \(\dfrac{\partial f(x, y, \dots)}{\partial x}\)\(f_x(x, y, \dots)\).
可以扩展到高阶,如 \(f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\);
\(f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\).
n8.19 \(\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}\) Jacobi 矩阵 参见1
n8.20 \(\mathrm{d}f\) \(f\) 的全微分 \(\mathrm{d}f(x, y, \dots)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\dots\).
n8.21 \(\delta f\) \(f\) 的(无穷小)变分
n8.22 \(\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x\) \(f\) 的不定积分
n8.23 \(\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x\) \(f\)\(a\)\(b\) 的定积分 也可使用 \(\displaystyle \int\nolimits_a^b f(x)\mathrm{d}x\);
定积分还可以定义在更一般的域上。如 \(\displaystyle\int\limits_C\)\(\displaystyle\int\limits_S\)\(\displaystyle\int\limits_V\)\(\displaystyle\oint\), 分别表示在曲线 \(C\), 曲面 \(S\), 三维区域 \(V\), 和闭曲线或曲面上的定积分。
多重积分可写成 \(\displaystyle\iint\)\(\displaystyle\iiint\) 等。
n8.24 \(f*g\) 函数 \(f\)\(g\) 的卷积 \(\displaystyle (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y\).

指数和对数函数

\(x\) 可以是复数。

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n9.1 \(\mathrm{e}\) 自然对数的底 \(\displaystyle \mathrm{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=2.718~812~8~\dots\);
不要写成 \(e\).
n9.2 \(a^x\) \(x\) 的指数函数(以 \(a\) 为底) 参见 n6.9.
n9.3 \(\mathrm{e}^x\);
\(\exp x\)
\(x\) 的指数函数(以 \(\mathrm{e}\) 为底)
n9.4 \(\log_a x\) \(x\) 的以 \(a\) 为底的对数 当底数不需要指定的时候可以使用 \(\log x\).
不应用 \(\log x\) 替换 \(\ln x\)\(\lg x\)\(\operatorname{lb} x\) 中的任意一个。
n9.5 \(\ln x\) \(x\) 的自然对数 \(\ln x = \log_{\mathrm{e}} x\);
参见 n9.4.
n9.6 \(\lg x\) \(x\) 的常用对数 \(\lg x = \log_{10} x\);
参见 n9.4.
n9.7 \(\operatorname{lb} x\) \(x\) 的以 \(2\) 为底的对数 \(\operatorname{lb} x = \log_2 x\);
参见 n9.4.

三角函数和双曲函数

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n10.1 \(\pi\) 圆周率 \(\pi = 3.141~592~6\dots\).
n10.2 \(\sin x\) \(x\) 的正弦 \(\sin x=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\);
\((\sin x)^n\)\((\cos x)^n\)(\(n\geq 2\)) 等通常写为 \(\sin^n x\)\(\cos^n x\) 等。
n10.3 \(\cos x\) \(x\) 的余弦 \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\).
n10.4 \(\tan x\) \(x\) 的正切 \(\tan x = \sin x/\cos x\);
不可使用 \(\operatorname{tg} x\).
n10.5 \(\cot x\) \(x\) 的余切 \(\cot x = 1/\tan x\);
不可使用 \(\operatorname{ctg} x\).
n10.6 \(\sec x\) \(x\) 的正割 \(\sec x = 1/\cos x\).
n10.7 \(\csc x\) \(x\) 的余割 \(\csc x = 1/\sin x\);
不可使用 \(\operatorname{cosec} x\).
n10.8 \(\arcsin x\) \(x\) 的反正弦 \(y = \arcsin x \iff x = \sin y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)\).
n10.9 \(\arccos x\) \(x\) 的反余弦 \(y = \arccos x \iff x = \cos y\quad (0 \leq y \leq \pi)\).
n10.10 \(\arctan x\) \(x\) 反正切 \(y = \arctan x \iff x = \tan y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)\);
不可使用 \(\operatorname{arctg} x\).
n10.11 \(\operatorname{arccot} x\) \(x\) 反余切 \(y = \operatorname{arccot} x \iff x = \cot y\quad (0 \leq y \leq \pi)\);
不可使用 \(\operatorname{arcctg} x\).
n10.12 \(\operatorname{arcsec} x\) \(x\) 反正割 \(y = \operatorname{arcsec} x \iff x = \sec y\quad (0\leq y \leq \pi, y\ne \pi/2)\).
n10.13 \(\operatorname{arccsc} x\) \(x\) 的反余割 \(y = \operatorname{arccsc} x \iff x = \csc y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2, y\ne 0)\);
不可使用 \(\operatorname{arccosec} x\).
n10.14 \(\sinh x\) \(x\) 的双曲正弦 \(\sinh x=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\);
不可使用 \(\operatorname{sh} x\).
n10.15 \(\cosh x\) \(x\) 的双曲余弦 \(\cosh^2 x = \sinh^2 x + 1\);
不可使用 \(\operatorname{ch} x\).
n10.16 \(\tanh x\) \(x\) 的双曲正切 \(\tanh x = \sinh x/\cosh x\);
不可使用 \(\operatorname{th} x\).
n10.17 \(\coth x\) \(x\) 的双曲余切 \(\coth x = 1/\tanh x\).
n10.18 \(\operatorname{sech} x\) \(x\) 的双曲正割 \(\operatorname{sech} x = 1/\cosh x\).
n10.19 \(\operatorname{csch} x\) \(x\) 的双曲余割 \(\operatorname{csch} x = 1/\sinh x\);
不可使用 \(\operatorname{cosech} x\).
n10.20 \(\operatorname{arsinh} x\) \(x\) 的反双曲正弦 \(y = \operatorname{arsinh} x \iff x = \sinh y\);
不可使用 \(\operatorname{arsh} x\).
n10.21 \(\operatorname{arcosh} x\) \(x\) 的反双曲余弦 \(y = \operatorname{arcosh} x \iff x = \cosh y\quad (y \geq 0)\);
不可使用 \(\operatorname{arch} x\).
n10.22 \(\operatorname{artanh} x\) \(x\) 的反双曲正切 \(y = \operatorname{artanh} x \iff x = \tanh y\);
不可使用 \(\operatorname{arth} x\).
n10.23 \(\operatorname{arcoth} x\) \(x\) 的反双曲余切 \(y = \operatorname{arcoth} x \iff x = \coth y\quad (y \ne 0)\).
n10.24 \(\operatorname{arsech} x\) \(x\) 的反双曲正割 \(y = \operatorname{arsech} x \iff x = \operatorname{sech} y\quad (y \geq 0)\).
n10.25 \(\operatorname{arcsch} x\) \(x\) 的反双曲余割 \(y = \operatorname{arcsch} x \iff x = \operatorname{csch} y\quad (y \geq 0)\);
不可使用 \(\operatorname{arcosech} x\).

复数

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n11.1 \(\mathrm{i}\) 虚数单位 \(\mathrm{i}^2 = -1\);
不可使用 \(i\)i
n11.2 \(\operatorname{Re} z\) \(z\) 的实部 参见 n11.3.
n11.3 \(\operatorname{Im} z\) \(z\) 的虚部 \(z = x + \mathrm{i} y\quad (x, y\in\mathbf{R})\), 则 \(x = \operatorname{Re} z\)\(y = \operatorname{Im} z\).
n11.4 \(\lvert z\rvert\) \(z\) 的模 \(\lvert z\rvert=\sqrt{(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2}\).
n11.5 \(\arg z\) \(z\) 的辐角 \(z = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\), 其中 \(r = \lvert z\rvert\)\(-\pi < \varphi \leq \pi\), 则 \(\varphi = \arg z\).
\(\operatorname{Re} z = r \cos \varphi\)\(\operatorname{Im} z = r \sin \varphi\).
n11.6 \(\bar{z}\);
\(z^*\)
\(z\) 的复共轭 \(\bar{z}=\operatorname{Re}z-\mathrm{i}\operatorname{Im}z\).
n11.7 \(\operatorname{sgn} z\) \(z\) 的单位模函数 \(\operatorname{sgn} z =z / \lvert z\rvert = \exp(\mathrm{i} \arg z)\quad (z \ne 0)\);
\(\operatorname{sgn} 0 = 0\);
参见 n6.13.

矩阵

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n12.1 \(A\);
参见2
\(m\times n\) 型矩阵 \(A\) \(a_{ij} = (A)_{ij}\);
也可使用 \(A = (a_{ij})\). 其中 \(m\) 为行数,\(n\) 为列数
\(m=n\) 时称为方阵
可用方括号替代圆括号。
n12.2 \(A + B\) 矩阵 \(A\)\(B\) 的和 \((A + B)_{ij} = (A)_{ij} + (B)_{ij}\);
矩阵 \(A\)\(B\) 的行数和列数必须分别相同。
n12.3 \(x A\) 标量 \(x\) 和矩阵 \(A\) 的乘积 \((x A)_{ij} = x (A)_{ij}\).
n12.4 \(AB\) 矩阵 \(A\)\(B\) 的乘积 \(\displaystyle(AB)_{ik} = \sum\limits_{j}(A)_{ij}(B)_{jk}\);
矩阵 \(A\) 的列数必须等于矩阵 \(B\) 的行数。
n12.5 \(I\);
\(E\)
单位矩阵 \((I)_{ik} = \delta_{ik}\);
\(\delta_{ik}\) 的定义参见 n14.9.
n12.6 \(A^{-1}\) 方阵 \(A\) 的逆 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\quad (\det A \ne 0)\).
\(\det A\) 的定义参见 n12.10.
n12.7 \(A^{\mathrm{T}}\);
\(A'\)
\(A\) 的转置矩阵 \((A^{\mathrm{T}})_{ik} = (A)_{ki}\).
n12.8 \(\overline{A}\);
\(A^*\)
\(A\) 的复共轭矩阵 \(\left(\overline{A}\right)_{ik}=\overline{(A)_{ik}}\).
n12.9 \(A^{\mathrm{H}}\);
\(A^{\dagger}\)
\(A\) 的 Hermite 共轭矩阵 \(A^{\mathrm{H}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathrm{T}}\).
n12.10 \(\det A\);
参见3
方阵 \(A\) 的行列式 也可使用 \(\lvert A\rvert\).
n12.11 \(\operatorname{rank}A\) 矩阵 \(A\) 的秩
n12.12 \(\operatorname{tr}A\) 方阵 \(A\) 的迹 \(\displaystyle\operatorname{tr}A=\sum\limits_{i}(A)_{ii}\).
n12.13 \(\lVert A\rVert\) 矩阵 \(A\) 的范数 满足三角不等式:若 \(A + B = C\), 则 \(\lVert A\rVert+\lVert B\rVert \geq \lVert C\rVert\).

坐标系

本节考虑三维空间中的一些坐标系。点 \(\mathrm{O}\) 为坐标系的 原点。任意点 \(\mathrm{P}\) 均由从原点 \(\mathrm{O}\) 到点 \(\mathrm{P}\)位置向量 确定。

编号 坐标 位置向量和微分 坐标名 备注
n13.1 \(x\)\(y\)\(z\) \(\mathbf{r} = x \mathbf{e}_x + y \mathbf{e}_y + z \mathbf{e}_z\);
\(\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}x~\mathbf{e}_x + \mathrm{d}y~\mathbf{e}_y + \mathrm{d}z~\mathbf{e}_z\)
笛卡尔坐标 基向量 \(\mathbf{e}_x\)\(\mathbf{e}_y\)\(\mathbf{e}_z\) 构成右手正交系,见图 1 和图 4。
基向量也可用 \(\mathbf{e}_1\)\(\mathbf{e}_2\)\(\mathbf{e}_3\)\(\mathbf{i}\)\(\mathbf{j}\)\(\mathbf{k}\) 表示,坐标也可用 \(x_1\)\(x_2\)\(x_3\)\(i\)\(j\)\(k\) 表示。
n13.2 \(\rho\)\(\varphi\)\(z\) \(\mathbf{r} = \rho~\mathbf{e}_{\rho} + z~\mathbf{e}_z\);
\(\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}\rho~\mathbf{e}_{\rho} +\rho~\mathrm{d}\varphi~\mathbf{e}_{\varphi} + \mathrm{d}z~\mathbf{e}_z\)
柱坐标 \(\mathbf{e}_{\rho}(\varphi)\)\(\mathbf{e}_{\varphi}(\varphi)\)\(\mathbf{e}_z\) 组成右手正交系,见图 2。
\(z = 0\), 则 \(\rho\)\(\varphi\) 是平面上的极坐标。
n13.3 \(r\)\(\vartheta\)\(\varphi\) \(\mathbf{r} = r \mathbf{e}_r\);
\(\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r~\mathbf{e}_r + r~\mathrm{d}\vartheta~\mathbf{e}_{\vartheta} + r~\sin\vartheta~\mathrm{\mathrm{d}}\varphi~\mathbf{e}_{\varphi}\)
球坐标 \(\mathbf{e}_r(\vartheta, \varphi)\)\(\mathbf{e}_{\vartheta}(\vartheta, \varphi)\)\(\mathbf{e}_{\varphi}(\varphi)\) 组成右手正交系,见图 3。

如果不使用右手坐标系(见图 4),而使用左手坐标系(见图 5),则应在之前明确强调,以免符号误用。

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

标量和向量

本节中,基向量用 \(\mathbf{e}_1\)\(\mathbf{e}_2\)\(\mathbf{e}_3\) 表示。本节中的许多概念都可以推广到 \(n\) 维空间。

标量和向量本身与坐标系的选择无关,而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关。

对于基向量 \(\mathbf{e}_1\)\(\mathbf{e}_2\)\(\mathbf{e}_3\), 每个向量 \(\mathbf{a}\) 都可以表示为 \(\mathbf{a}=a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+a_3\mathbf{e}_3\), 其中 \(a_1\)\(a_2\)\(a_3\) 是唯一确定的标量值,将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标",\(a_1\mathbf{e}_1\)\(a_2\mathbf{e}_2\)\(a_3\mathbf{e}_3\) 称为向量相对于该组基向量的分向量。

在本节中,只考虑普通空间的笛卡尔(正交)坐标。笛卡尔坐标用 \(x\)\(y\)\(z\)\(a_1\)\(a_2\)\(a_3\)\(x_1\)\(x_2\)\(x_3\) 表示。

本节所有下标 \(i\)\(j\)\(k\) 的范围均为 \(1\)\(3\).

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n14.1 \(\mathbf{a}\);
\(\vec{a}\)
向量 \(\mathbf{a}\)
n14.2 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) 向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 的和 \((\mathbf{a} + \mathbf{b})_i = a_i + b_i\).
n14.3 \(x\mathbf{a}\) 标量 \(x\) 与向量 \(\mathbf{a}\) 的乘积 \((x\mathbf{a})_i = xa_i\).
n14.4 \(\lvert \mathbf{a}\rvert\) 向量 \(\mathbf{a}\) 的大小,向量 \(\mathbf{a}\) 的范数 \(\lvert \mathbf{a}\rvert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\);
也可使用 \(\lVert a\rVert\).
n14.5 \(\mathbf{0}\);
\(\vec{0}\)
零向量 零向量的大小为 \(0\).
n14.6 \(\mathbf{e_a}\) \(\mathbf{a}\) 方向的单位向量 \(\mathbf{e_a} = \mathbf{a}/\lvert\mathbf{a}\rvert\quad (\mathbf{a}\ne \mathbf{0})\).
n14.7 \(\mathbf{e}_x\)\(\mathbf{e}_y\)\(\mathbf{e}_z\);
\(\mathbf{e}_1\)\(\mathbf{e}_2\)\(\mathbf{e}_3\)
笛卡尔坐标轴方向的单位向量 也可使用 \(\mathbf{i}\)\(\mathbf{j}\)\(\mathbf{k}\).
n14.8 \(a_x\)\(a_y\)\(a_z\);
\(a_i\)
向量 \(\mathbf{a}\) 的笛卡尔分量 \(\mathbf{a} = a_x \mathbf{e}_x + a_y \mathbf{e}_y + a_z \mathbf{e}_z\);
如果上下文确定了基向量,则向量可以写为 \(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\).
\(a_x = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_x\)\(a_y = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_y\)\(a_z = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_z\);
\(\mathbf{r} = x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z\) 是坐标为 \(x\)\(y\)\(z\) 的位置向量。
n14.9 \(\delta_{ik}\) Kronecker delta 符号 \(\delta_{ik}=1\quad (i=k)\);
\(\delta_{ik}=0\quad (i\ne k)\).
n14.10 \(\varepsilon_{ijk}\) Levi—Civita 符号 \(\varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1\);
\(\varepsilon_{132} = \varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = -1\);
其余的 \(\varepsilon_{ijk}\) 均为 \(0\).
n14.11 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) 向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 的标量积/内积 \(\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum\limits_i a_ib_i\).
n14.12 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) 向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 的向量积/外积 右手笛卡尔坐标系中,\(\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i = \sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon_{ijk}a_jb_k\);
\(\varepsilon_{ijk}\) 的定义参见 n14.10.
n14.13 \(\mathbf{\nabla}\);
\(\vec{\nabla}\)
nabla 算子 \(\displaystyle \mathbf{\nabla} = \mathbf{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial z}=\sum\limits_i\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}\).
n14.14 \(\mathbf{\nabla}\varphi\);
\(\operatorname{\mathbf{grad}}\varphi\)
\(\varphi\) 的梯度 \(\displaystyle \mathbf{\nabla}\varphi=\sum\limits_i\mathbf{e}_i\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\);
\(\operatorname{\mathbf{grad}}\) 应使用 \operatorname{\mathbf{grad}}.
n14.15 \(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{a}\);
\(\operatorname{\mathbf{div}}\mathbf{a}\)
\(\mathbf{a}\) 的散度 \(\displaystyle \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{a}=\sum\limits_i\frac{\partial a_i}{\partial x_i}\);
\(\operatorname{\mathbf{div}}\) 应使用 \operatorname{\mathbf{div}}.
n14.16 \(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{a}\);
\(\operatorname{\mathbf{rot}}\mathbf{a}\)
\(\mathbf{a}\) 的旋度 \(\displaystyle (\mathbf{\nabla}\times\mathbf{a})_i=\sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon_{ijk}\frac{\partial a_k}{\partial x_j}\);
\(\operatorname{\mathbf{rot}}\) 应使用 \operatorname{\mathbf{rot}}.
不应使用 \(\operatorname{\mathbf{curl}}\).
\(\varepsilon_{ijk}\) 的定义参见 n14.10.
n14.17 \(\mathbf{\nabla}^2\);
\(\Delta\)
Laplace 算子 \(\mathbf{\nabla}^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\).

特殊函数

本节中的 \(z\)\(w\) 是复数,\(k\)\(n\) 是自然数,且 \(k\leq n\)

编号 符号,表达式 意义,等同表述 备注与示例
n15.1 \(\gamma\) Euler—Mascheroni 常数 \(\displaystyle \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)= 0.577~215~6 \dots\).
n15.2 \(\Gamma(z)\) gamma 函数 \(\displaystyle\Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re}z>0)\);
\(\Gamma(n+1)=n!\).
n15.3 \(\zeta(z)\) Riemann zeta 函数 \(\displaystyle\zeta(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\quad (\operatorname{Re}z>1)\).
n15.4 \(\operatorname{B}(z, w)\) beta 函数 \(\displaystyle\operatorname{B}(z, w)=\int\limits_0^1 t^{z-1}(1-t)^{w-1}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re} z>0\)\(\operatorname{Re} w>0)\);
\(\operatorname{B}(z, w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}\);
\(\dfrac{1}{(n+1)\operatorname{B}(k+1, n-k+1)}=\dbinom{n}{k}\).

  1. \(\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}\); 矩阵的定义参见 n12.1 

  2. \(\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\) 

  3. \(\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots& &\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)