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Stoer-Wagner 算法

定义

由于取消了 源汇点 的定义,我们需要对 的概念进行重定义。

(其实是网络流部分有关割的定义与维基百科不符,只是由于一般接触到的割都是「有源汇的最小割问题」,因此这个概念也就约定俗成了。)

去掉其中所有边能使一张网络流图不再连通(即分成两个子图)的边集称为图的割。

即:在无向图 \(G = (V, E)\) 中,设 \(C\) 为图 \(G\) 中一些弧的集合,若从 \(G\) 中删去 \(C\) 中的所有弧能使图 \(G\) 不是连通图,称 \(C\)\(G\) 的一个割。

有源汇点的最小割问题

最小割 中的定义。

无源汇点的最小割问题

包含的弧的权和最小的割。也称为全局最小割。

显然,直接跑网络流的复杂度是行不通的。


Stoer-Wagner 算法

引入

Stoer-Wagner 算法在 1995 年由Mechthild StoerFrank Wagner提出,是一种通过 递归 的方式来解决 无向正权图 上的全局最小割问题的算法。

性质

算法复杂度 \(O(|V||E| + |V|^{2}\log|V|)\) 一般可近似看作 \(O(|V|^3)\)

它的实现基于以下基本事实:设图 \(G\) 中有任意两点 \(S, T\)。那么任意一个图 \(G\) 的割 \(C\),或者有 \(S, T\) 在同一连通块中,或者有 \(C\) 是一个 \({S-T}\) 割。

过程

  1. 在图 \(G\) 中任意指定两点 \(s, t\),并且以这两点作为源汇点求出图 \(G\)\(S-T\) 最小割(定义为cut of phase),更新当前答案。
  2. 「合并」点 \(s, t\),如果图 \(G\)\(|V|\) 大于 \(1\),则回到第一步。
  3. 输出所有cut of phase的最小值。

合并两点 \(s, t\):删除 \(s, t\) 之间的连边 \((s, t)\),对于 \(G/\{s, t\}\) 中任意一点 \(k\),删除 \((t, k)\),并将其边权 \(d(t, k)\) 加到 \(d(s, k)\)

解释:如果 \(s, t\) 在同一连通块,对于 \(G/\{s, t\}\) 中的一点 \(k\),假如 \((k, s) \in C_{\min}\),那么 \((k, t) \in C_{\min}\) 也一定成立,否则因为 \(s, t\) 连通,\(k, t\) 连通,导致 \(s, k\) 在同一连通块,此时 \(C = C_{\min} / {s}\) 将比 \(C_{\min}\) 更优。反之亦然。所以 \(s, t\) 可以看作同一点。

步骤 1 考虑了 \(s,t\) 不在同一连通块的情形,步骤 2 考虑了剩余的情况。由于每次执行步骤 2 都会使 \(|V|\) 减小 \(1\),因此算法将在进行 \(|V| - 1\) 后结束。

S-T 最小割的求法

(显然不是网络流。)

假设进行若干次合并以后,当前图 \(G'=(V', E')\),执行步骤 1。

我们构造一个集合 \(A\),初始时令 \(A = \varnothing\)

我们每次将 \(V'\) 中所有点中,满足 \(i \notin A\),且权值函数 \(w(A, i)\) 最大的节点加入集合 \(A\),直到 \(|A| = |V'|\)

其中权值函数的定义:

\(w(A, i) = \sum_{j \in A} d(i, j)\)

(若 \((i, j) \notin E'\),则 \(d(i, j) = 0\))。

容易知道所有点加入 \(A\) 的顺序是固定的,令 \(\operatorname{ord}(i)\) 表示第 \(i\) 个加入 \(A\) 的点,\(t = \operatorname{ord}(|V'|)\)\(\operatorname{pos}(v)\) 表示 \(v\) 被加入 \(A\)\(|A|\) 的大小,即 \(v\) 被加入的顺序。

则对任意点 \(s\),一个 \(s\)\(t\) 的割即为 \(w(t)\)

证明

定义一个点 \(v\) 被激活,当且仅当 \(v\) 在加入 \(A\) 中时,发现在 \(A\) 此时最后一个点 \(u\) 早于 \(v\) 加入集合,并且在图 \(G'' = (V', E'/C)\) 中,\(u\)\(v\) 不在同一连通块。

Stoer-Wagner1

如图,蓝色区域和黄色区域为两个不同的连通块,方括号中的数字为加入 \(A\) 的顺序。灰色节点为活跃节点,白色节点则不是活跃节点。

定义 \(A_v = \{u \mid \operatorname{pos}(u) < \operatorname{pos}(v)\}\),也就是严格早于 \(v\) 加入 \(A\) 的点,令 \(E_v\)\(E'\) 的诱导子图(点集为 \(A_v \cup\{v\}\))的边集。(注意包含点 \(v\)。)

定义诱导割 \(C_v\)\(C \cap E_v\)\(w(C_v) = \sum_{(i,j) \in C_v} d(i, j)\)

Lemma 1

对于任何被激活的点 \(v\)\(w(A_v, v) \le w(C_v)\)

证明:使用数学归纳法。

对于第一个被激活的点 \(v_0\),由定义可知 \(w(A_{v_0}, v_0) = w(C_{v_0})\)

对于之后两个被激活的点 \(u, v\),假设 \(\operatorname{pos}(v) < \operatorname{pos}(u)\),则有:

\(w(A_u, u) = w(A_v, u) + w(A_u - A_v, u)\)

又,已知:

\(w(A_v, u) \le w(A_v, v)\) 并且 \(w(A_v, v) \le w(C_v)\) 联立可得:

\(w(A_u, u) \le w(C_v) + w(A_u - A_v, u)\)

由于 \(w(A_u - A_v, u)\)\(w(C_u)\) 有贡献而对 \(w(C_v)\) 没有贡献,在所有边均为正权的情况下,可导出:

\(w(A_u,u) \le w(C_u)\)

由归纳法得证。

由于 \(\operatorname{pos}(s) < \operatorname{pos}(t)\),并且 \(s, t\) 不在同一连通块,因此 \(t\) 会被激活,由此可以得出 \(w(A_t, t) \le w(C_t) = w(C)\)

P5632【模板】Stoer-Wagner 算法
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 601;
int fa[N], siz[N], edge[N][N];

int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

int dist[N], vis[N], bin[N];
int n, m;

int contract(int &s, int &t) {  // Find s,t
  memset(dist, 0, sizeof(dist));
  memset(vis, false, sizeof(vis));
  int i, j, k, mincut, maxc;
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    k = -1;
    maxc = -1;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j] && !vis[j] && dist[j] > maxc) {
        k = j;
        maxc = dist[j];
      }
    if (k == -1) return mincut;
    s = t;
    t = k;
    mincut = maxc;
    vis[k] = true;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j] && !vis[j]) dist[j] += edge[k][j];
  }
  return mincut;
}

const int inf = 0x3f3f3f3f;

int Stoer_Wagner() {
  int mincut, i, j, s, t, ans;
  for (mincut = inf, i = 1; i < n; i++) {
    ans = contract(s, t);
    bin[t] = true;
    if (mincut > ans) mincut = ans;
    if (mincut == 0) return 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j]) edge[s][j] = (edge[j][s] += edge[j][t]);
  }
  return mincut;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  if (m < n - 1) {
    cout << 0;
    return 0;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i, siz[i] = 1;
  for (int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
    cin >> u >> v >> w;
    int fu = find(u), fv = find(v);
    if (fu != fv) {
      if (siz[fu] > siz[fv]) swap(fu, fv);
      fa[fu] = fv, siz[fv] += siz[fu];
    }
    edge[u][v] += w, edge[v][u] += w;
  }
  int fr = find(1);
  if (siz[fr] != n) {
    cout << 0;
    return 0;
  }
  cout << Stoer_Wagner();
  return 0;
}

复杂度分析与优化

contract操作的复杂度为 \(O(|E| + |V|\log|V|)\)

一共进行 \(O(|V|)\)contract,总复杂度为 \(O(|E||V| + |V|^2\log|V|)\)

根据 最短路 的经验,算法瓶颈在于找到权值最大的点。

在一次contract中需要找 \(|V|\) 次堆顶,并递增地修改 \(|E|\) 次权值。

斐波那契堆 可以胜任 \(O(\log|V|)\) 查找堆顶和 \(O(1)\) 递增修改权值的工作,理论复杂度可以达到 \(O(|E| + |V|\log|V|)\),但是由于斐波那契堆常数过大,码量高,实际应用价值偏低。

(实际测试中开 O2 还要卡评测波动才能过。)