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图匹配

匹配 或是 独立边集 是一张图中没有公共边的集合。 在二分图中求匹配等价于网路流问题。

图匹配算法是信息学竞赛中常用的算法,总体分为最大匹配以及最大权匹配,先从二分图开始介绍,在进一步提出一般图的作法。

图的匹配

在图论中,假设图 \(G=(V,E)\),其中 \(V\) 是点集,\(E\) 是边集。

一组两两没有公共点的边集 \((M(M\in E))\) 称为这张图的 匹配

定义匹配的大小为其中边的数量 \(|M|\),其中边数最大的 \(M\)最大匹配

当图中的边带权的时候,边权和最大的为 最大权匹配

匹配中的边称为 匹配边,反之称为 未匹配边

一个点如果属于 \(M\) 且为至多一条边的端点,称为 匹配点,反之称为 未匹配点

  • maximal matching: 无法再增加匹配边的匹配。不见得是最大匹配。
  • 最大匹配(maximum matching): 匹配数最多的匹配。
  • 完美匹配(perfect matching): 所有点都属于匹配,同时也符合最大匹配。
  • 近完美匹配(near-perfect matching): 发生在图的点数为奇数,刚好只有一个点不在匹配中,扣掉此点以后的图称为 factor-critical graph。

    maximal matching graph-match-1 最大匹配 graph-match-2

二分图匹配

一张二分图上的匹配称作二分匹配

\(G\) 为二分图,若在 \(G\) 的子图 \(M\) 中,任意两条边都没有公共节点,那么称 \(M\) 为二分图 \(G\) 的一个匹配,且 \(M\) 的边数为匹配数。

完美匹配

\(G=<V_1, V_2, E>\) 为二分图,\(|V_1| \leq |V_2|\)\(M\)\(G\) 中一个最大匹配,且 \(|M|=|V_1|\),则称 \(M\)\(V_1\)\(V_2\) 的完美匹配。

霍尔定理

设二分图 \(G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|\),则 \(G\) 中存在 \(V_1\)\(V_2\) 的完美匹配当且仅当对于任意的 \(S \subset V_1\),均有 \(|S|\leq|N(S)|\),其中 \(N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}\),是 \(S\) 的邻域。

最大匹配

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

算法

组合优化中的一个基本问题是求 最大匹配(maximum matching)

二分图最大匹配

详见 二分图最大匹配 页面。

在无权二分图中,Hopcroft-Karp 算法可在 \(O(\sqrt{V}E)\) 解决。

二分图最大权匹配

详见 二分图最大权匹配 页面。

在带权二分图中,可用 Hungarian 算法解决。 如果在最短路搜寻中用 Bellman–Ford 算法,时间复杂度为 \(O(V^2E)\), 如果用 Dijkstra 算法或 Fibonacci heap,可用 \(O(V^{2}\log {V}+VE)\) 解决。

一般图最大匹配

详见 一般图最大匹配 页面。

无权一般图中,Edmonds' blossom 算法可在 \(O(V^2E)\) 解决。

一般图最大权匹配

详见 一般图最大权匹配 页面。

带权一般图中,Edmonds' blossom 算法可在 \(O(V^2E)\) 解决。

参考资料

  1. Wikiwand - Matching (graph theory)
  2. Wikiwand - Blossom algorithm
  3. 2015 年《浅谈图的匹配算法及其应用》- 陈胤伯
  4. 演算法笔记 - Matching
  5. the-tourist/algo
  6. Bill Yang's Blog - 带花树学习笔记
  7. 二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
  8. Wikiwand - Hopcroft–Karp algorithm