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堆简介

堆是一棵树,其每个节点都有一个键值,且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值。

每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆,否则叫做大根堆。STL 中的 priority_queue 其实就是一个大根堆。

(小根)堆主要支持的操作有:插入一个数、查询最小值、删除最小值、合并两个堆、减小一个元素的值。

一些功能强大的堆(可并堆)还能(高效地)支持 merge 等操作。

一些功能更强大的堆还支持可持久化,也就是对任意历史版本进行查询或者操作,产生新的版本。

堆的分类

操作 \ 数据结构 配对堆 二叉堆 左偏树 二项堆 斐波那契堆
插入(insert) \(O(1)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\) \(O(1)\)
查询最小值(find-min) \(O(1)\) \(O(1)\) \(O(1)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)
删除最小值(delete-min) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\)
合并 (merge) \(O(1)\) \(O(n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)
减小一个元素的值 (decrease-key) \(o(\log n)\)(下界 \(\Omega(\log \log n)\),上界 \(O(2^{2\sqrt{\log \log n}})\)) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)
是否支持可持久化 \(\times\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\checkmark\) \(\times\)

习惯上,不加限定提到「堆」时往往都指二叉堆。